Lema (Teorema de Euler sobre funciones homogéneas): Si una función f(Z ⃗) es homogénea de grado “h” en sus “T” variables –donde - , entonces:
Acta Académica, 69, Noviembre 2021, ISSN 1017-7507
Cavilación alternativa a la dualidad del problema del consumidor
Alternative consideration to the duality of consumer’s problem
Marco Vinicio Monge-Mora
Resumen:
Este trabajo ofrece un análisis nuevo sobre estática comparativa de la demanda. Nuevo en el sentido de que simplifica la obtención –tanto formalmente como en términos de supuestos- del Lema de Shephard y de la Identidad de Roy, al demostrarlos con el uso del Teorema de Euler sobre funciones homogéneas y sin acudir al cumplimiento de la dualidad, en lugar de hacerlo por medio del Teorema de la Envolvente o el Teorema de la Función Implícita. A partir de ello, se estudia la dualidad del problema del consumidor sin exigir cuasi-concavidad de la función de utilidad.
Palabras clave: LEMA DE SHEPHARD- IDENTIDAD DE ROY - DUALIDAD - MALES - FUNCIONES HOMOGÉNEAS.
Abstract:
This paper offers a new analysis on comparative statics of demand. New in the sense that it simplifies the obtaining -both formally and in terms of assumptions- of Shephard’s Lemma and Roy’s Identity by demonstrating them with the use of Euler’s Theorem on homogeneous functions and without appealing to the fulfillment of duality, rather than using the Envelope Theorem or the Implicit Function Theorem. Based on this, the duality of the consumer problem is studied without requiring quasi-concavity of the utility function.
Key words: SHEPHARD’S LEMMA - ROY’S IDENTITY - DUALITY - BADS - HOMOGENEOUS FUNCTIONS.
Agradecimientos
A Danilo Alberto Monge Acuña por su constante y enriquecedora retroalimentación.
Recibido: 12 de mayo del 2021
Aceptado:15 de agosto de 2021
Introducción
La manida navaja de Ockham es, como todo principio metodológico (o como todo axioma en general), arbitraria en cierta medida. Pero ofrecer cavilaciones que sean metodológicamente más simples brinda una ganancia pedagógica y, conforme disminuyen tanto el número como la especificidad de los supuestos necesarios para alcanzar una determinada conclusión, mayor es su aplicabilidad. La teoría de la demanda no es la excepción.
Las primeras dos propiedades sobre las que versa este artículo nunca han sido demostradas del modo en que aquí se hace y, en muchas ocasiones, se las demuestra exigiendo que se cumpla la tercera propiedad. Lo único que se requiere a lo largo de este trabajo es monotonía de preferencias y el siguiente lema:
Lema
(Teorema
de Euler sobre funciones homogéneas):
Si una función f(Z
⃗)
es homogénea de grado “h” en sus “T” variables –donde -
, entonces:
Suponga
que un individuo tiene preferencias tales que pueden representarse
por una función de utilidad que depende de un vector
“n”-dimensional,
que
tiene como cada una de sus entradas a la respectiva mercancía de
entre las “n” que toma en consideración.
Suponga
que el individuo desea, mediante la elección de
con
cantidades no negativas de las mercancías y enfrentándose a un
vector de precios positivos -
-
de las mismas que considera como dados, minimizar el valor nominal de
su gasto. 
, que es igual al producto punto del vector
de precios con el vector de mercancías) sujeto a alcanzar, como
mínimo un nivel de utilidad dado
(
Esto es:
Sea
la
función valor mínimo que resulta de este problema de decisión y
sea el vector de demandas
hicksianas –
-
su
argumento de minimización. De modo que la función
de gasto
o función
de costo mínimo
consiste en:
Proposición
1 (Lema
de Shephard):
Demostración:
Como
se sabe que
es homogénea de grado 1 en precios, se sigue de (3) que:
Y por definición de la función de gasto:
De
donde, por inspección, se obtiene que el vector de demandas
hicksianas coincide
con el vector gradiente -
- de la función
de costo mínimo.
Alternativamente, también puede apreciar que –como todas las
entradas de
deben
ser números reales- el conjugado de
e
s
. De modo que puede “pasarse al otro lado” de la ecuación
vectorial definida en (6) directamente su inversa y por la
conmutatividad del producto punto se llega a la misma conclusión.
Suponga
ahora que el individuo desea, mediante la elección de
con
cantidades no negativas de las mercancías y enfrentándose a un
vector de precios positivos
de
las mismas que considera como dados, maximizar su función de
utilidad sujeto a que el valor nominal de su gasto no puede exceder
el de su ingreso nominal
.
Sea
x
la
función valor máximo que resulta de este problema de decisión y
sea el vector de demandas
marshallianas
su argumento de maximización.
Se sabe que si las preferencias son monótonas (no saciables), entonces hay al menos una mercancía a la que se la considera “bien” (con utilidad marginal positiva), se consume todo el ingreso. De modo que:
Proposición 2 (Identidad de Roy):
Demostración:
Como
se sabe que
es homogénea de grado 0 en precios e ingreso, se sigue de (3) que:
Si las preferencias son monótonas, entonces por (8):
Y, por inspección o por el método de resolución de ecuaciones vectoriales antes empleado, se deduce el resultado.
Proposición
3 (Dualidad
en el problema del consumidor):
Demostración:
Se
sabe que, si la función de utilidad del individuo es estrictamente
creciente -preferencias monótonas-, el valor nominal del gasto
coincide con el del ingreso y se sabe (Jehle & Reny, 2011, p.42).
Que es cierto si y solo si –sii- por (6) y (13):
Y,
por inspección o por el método de resolución de ecuaciones
vectoriales antes empleado, se tiene que el vector de demandas
mashallianas
coincide con el vector de demandas
hicksianas
evaluadas en
.
El hecho de que solo se requiera monotonía para alcanzar estas propiedades puede interiorizarse mejor con un caso particular.
Ejemplo 1 (Perfectos sustitutos): Suponga que las preferencias de un individuo se describen por:
Es claro que, como no hay preferencia por la variedad y se sabe que solo las soluciones de esquina se encuentran definidas, el individuo alcanzará el sumando más grande, o lo que es igual, consumir el bien relativamente más barato (que su tasa marginal de sustitución subjetiva supere la tasa marginal de sustitución de mercado). En consecuencia, destina todo su ingreso a consumir dicho bien y, por ende, este es el único que le genera utilidad. Así:
Para comprobar el cumplimiento de la Proposición 1, vea que:
Además,
Para comprobar el cumplimiento de la Proposición 2, vea que:
Finalmente, para comprobar el cumplimiento de la Proposición 3, vea que:
Para los tres teoremas, el cumplimiento para mercancías no consumidas es trivial.
Empero, la monotonía de las preferencias parece ser la cota inferior de restricciones necesarias para el cumplimiento generalizado de estas proposiciones.
Ejemplo 2 (Males): Suponga que las preferencias de un individuo se describen por:
Se
sabe que el punto de consumo óptimo, iguala todos los términos y
así es claro que
.
De modo que un individuo racional alcanza su máximo nivel de
satisfacción con 0 “útiles” y una función
de utilidad indirecta
-
constante (no se cumple la identidad
de Roy)
y si no se dota de intuición económica al ejercicio de
optimización, gastar todo su ingreso es solución al problema de
maximización de utilidad sujeto a restricción presupuestaria y
habría una solución positiva a este y una nula al de minimización
del gasto sujeto a alcanzar como mínimo un nivel dado de
satisfacción (no se cumple la dualidad).
En
conclusión, que al ser
quien
representa la satisfacción, en unidades monetarias, que le genera al
individuo su decisión de consumo y
el desembolso nominal mínimo que debe desempeñar el individuo para
alcanzar un nivel de utilidad fijo, entonces solo se requiere el
cumplimiento de unos axiomas mínimos de racionalidad y no saciedad,
para apreciar que las decisiones de demanda son el modo en que el
consumidor reacciona ante los cambios en los precios relativos
(Proposición 1) y el ingreso real (Proposición 2), y que el
consumidor es capaz de elegir por su propia naturaleza decisora y no
solo por la naturaleza del problema de decisión (Proposición 3).
Referencias
G. Jehle G. & P. Reny. (2011). Advanced Microeconomic Theory. Pearson.
* Estudiante de Bachillerato en Ciencias Económicas de la Universidad de Costa Rica. Asesor económico de la Asociación Costarricense de Operadoras de Pensiones y asistente de investigación en la Universidad de Princeton. Correo electrónico: marcomonge10@gmail.com